Question

16．已知数列{a_n}是a₃=$\frac{1}{64}$，公比q=$\frac{1}{4}$的等比数列，设b_n+2=3${log}_{\frac{1}{4}}$a_n（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件求出等比和等差数列的通项公式，进一步利用定义法证明数列是等差数列．
（2）根据所求出的通项公式，利用乘公比错位相减法求数列的和．

解答 解：（1）数列{a_n}是a₃=$\frac{1}{64}$，公比q=$\frac{1}{4}$的等比数列，
设首项为a₁，则：a₃=${a}_{1}{q}^{2}$，
解得：${a}_{1}=\frac{1}{4}$，
所以：${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}=（\frac{1}{4}）^{n}$．
由于：b_n+2=3${log}_{\frac{1}{4}}$a_n（n∈N^*），
则：${b}_{n}+2=3{log}_{\frac{1}{4}}（\frac{1}{4}）^{n}$，
求得：b_n=3n-2．
则：b_n+1=3（n+1）-2=3n+1．
b_n+1-b_n=3（常数）．
所以：数列{b_n}是等差数列．
（2）数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
S_n=c₁+c₂+…+c_n
则：${S}_{n}=1•（\frac{1}{4}）^{1}$+$4•（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$（3n-2）{（\frac{1}{4}）}^{n}$①
$\frac{1}{4}{S}_{n}=1•{（\frac{1}{4}）}^{2}$+$4•（\frac{1}{4}）^{3}$+…+$（3n-5）{（\frac{1}{4}）}^{n}$+$（3n-2）{（\frac{1}{4}）}^{n+1}$②
所以①-②得：
$\frac{3}{4}{S}_{n}$=$3[（\frac{1}{4}）^{1}+$$（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n}$]-$2•\frac{1}{4}-$$（3n-2）{（\frac{1}{4}）}^{n+1}$
整理得：$\frac{3}{4}{S}_{n}$=3$•\frac{\frac{1}{4}（1-（\frac{1}{4}）^{n}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{1}{2}$-$（3n-2）{（\frac{1}{4}）}^{n+1}$
则：${S}_{n}=\frac{2}{3}-（n+\frac{2}{3}）（\frac{1}{4}）^{n}$

点评 本题考查的知识要点：等差和等比数列通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．