Question

5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB，点E是PD的中点，作EF⊥PC交PC于F．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （I）利用线面垂直的判定与性质定理可得：PA⊥CD，得到CD⊥平面PAD，得到CD⊥AE，可得AE⊥平面PCD，可得AE⊥PC，即可证明PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵E是PD的中点，PA=AD，
∴AE⊥PD，
∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD，
而PC?平面PCD，
∴AE⊥PC，
又EF⊥PC，AE∩EF=E，
∴PC⊥平面AEF．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，
则$\overrightarrow{AP}=（0，0，1），\overrightarrow{AC}=（1，1，0），\overrightarrow{DC}=（0，1，0），\overrightarrow{PD}=（1，0，0）-（0，0，1）=（1，0，-1）$，
设平面APC的法向量是$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow m=0，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow m=0$，
∴z₁=0，x₁+y₁=0，即$\overrightarrow m=（1，-1，0）$，
设平面DPC的法向量是$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，则$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow n=0，\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n=0$，
所以y₂=0，x₂-z₂=0，即$\overrightarrow n=（1，0，1）$．
$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{{\sqrt{2}•\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$，即面角A-PC-D的大小为60°．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．