Question

20．若函数f（x）=ln（x+$\frac{a}{x}$-4）的值域为R，则实数a的取值范围是（-∞，4]．

Answer 1

分析 问题转化为x+$\frac{a}{x}$-4可以取所有正数，由分类讨论和基本不等式可得．

解答 解：∵函数f（x）=ln（x+$\frac{a}{x}$-4）的值域为R，
∴x+$\frac{a}{x}$-4可以取所有正数，
当a≤0时，显然成立；
当a＞0时，x+$\frac{a}{x}$-4≥2$\sqrt{a}$-4，
故只需2$\sqrt{a}$-4≤0即可，
解不等式可得0＜a≤4，
综上可得a的取值范围为：（-∞，4]
故答案为：（-∞，4]

点评 本题考查对数函数的性质，涉及恒成立问题和基本不等式求最值，属中档题．