Question

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bcosB=acosC+ccosA．
（1）求角B的大小；
（2）求2sin²A+cos（A-C）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件以及正弦定理求出B的正弦值，然后求角B的大小；
（2）依题意，可求得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，利用二倍角的余弦与两角差的余弦及正弦函数的单调性即可求得2sin²A+cos（A-C）的取值范围．

解答 解：（1）由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB…（2分）
因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB≠0，
所以cosB=$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，π）
∴B=$\frac{π}{3}$…（4分）
（2）由（1）知A+C=$\frac{2π}{3}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$-A，
∴2sin²A+cos（A-C）
=1-cos2A+cos（2A-$\frac{2π}{3}$）
=1-cos2A-$\frac{1}{2}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{3}{2}$cos2A+1
=$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$）+1，…（8分）
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{π}{3}$＜π，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-$\frac{1}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$）+1≤$\sqrt{3}$+1，
∴2sin²A+cos（A-C）的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$+1]…（12分）

点评 本题考查正弦定理，三角形的内角和的应用，也可以利用余弦定理解答本题，注意角的范围的应用，考查计算能力，属于中档题．