Question

19．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=A₁B₁=2，BC=$\sqrt{2}$
（Ⅰ）若E为线段CC₁的中点，求证：平面A₁BE⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）若点P为侧面A₁ABB₁（包含边界）内的一个动点，且 C₁P∥平面A₁BE，求线段C₁P长度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明CD⊥BE，又可证BE⊥B₁C，且B₁C∩CD=C，从而证明BE⊥平面B₁CD，即可证明平面A₁BE⊥平面B₁CD．
（Ⅱ）取线段A₁，B₁的中点M，线段BB1的中点N，连接C₁M，C₁N，MN，易得C₁N∥BE，MN∥A₁B，又MN∩C₁N=N，BA₁∩BE=B，可证平面C₁MN∥平面A₁BE，从而有点P为线段MN上的动点，且C₁P∥面A₁BE，要使得线段C₁P长度最小，则C₁P⊥MN，在△C₁MN中，易求得C₁P的值．

解答 解：（Ⅰ）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD⊥平面BCC₁B₁，
∴CD⊥BE…（3分）
又∵E为线段CC₁的中点，由已知得Rt△B₁BC∽Rt△BCE，
∴∠EBC=∠BB₁C，
∴∠EBB₁+∠BB₁C=90°，
故BE⊥B₁C，且B₁C∩CD=C，
∴BE⊥平面B₁CD，
又BE?平面A₁BE，
∴平面A₁BE⊥平面B₁CD，…（7分）
（Ⅱ）取线段A₁，B₁的中点M，线段BB1的中点N，
连接C₁M，C₁N，MN，易得C₁N∥BE，MN∥A₁B，
又MN∩C₁N=N，BA₁∩BE=B，
∴平面C₁MN∥平面A₁BE，故点P为线段MN上的动点，且C₁P∥面A₁BE，
要使得线段C₁P长度最小，则C₁P⊥MN，
在△C₁MN中，C₁M=C₁N=$\sqrt{3}$，MN=$\sqrt{2}$，易得C₁P=$\frac{\sqrt{10}}{2}$…（13分）

点评 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．