Question

4．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$$+\frac{{y}^{2}}{9}$=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（　　）

• A． 9x-16y+7=0
• B． 16x+9y-25=0
• C． 9x+16y-25=0
• D． 16x-9y-7=0

Answer 1

分析 设出以点M（1，1）为中点的弦两端点为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），利用点差法可求得以M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率．再由点斜式可求得直线方程．

解答 解：设以点M（1，1）为中点的弦两端点为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1$，①，
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1$  ②
①-②得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}+\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$=0
又据对称性知x₁≠x₂，
则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{9}{16}$，
∴以点M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率k=-$\frac{9}{16}$，
∴中点弦所在直线方程为y-1=-$\frac{9}{16}$（x-1），
即9x+16y-25=0．
故选：C

点评 本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求以及点差法在求解直线方程中的应用．