Question

16．求证：aⁿ⁺¹+（a+1）^2n-1能被a²+a+1整除，n∈N₊，a∈R．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是数学归纳法，我们可以先验证①n=1时命题是否成立；②假设n=k时命题成立；③推证n=k+1时命题成立，得结论．

解答 证明：（1）当n=1时，a²+（a+1）=a²+a+1可被a²+a+1整除
（2）假设n=k（k∈N^*）时，a^k+1+（a+1）^2k-1能被a²+a+1整除，则当n=k+1时，
a^k+2+（a+1）^2k+1=a•a^k+1+（a+1）²（a+1）^2k-1
=a[a^k+1+（a+1）^2k-1]+（a²+a+1）（a+1）^2k-1，
由假设可知a[a^k+1+（a+1）^2k-1]能被（a²+a+1）整除，
（a²+a+1）（a+1）^2k-1也能被（a²+a+1）整除
∴a^k+2+（a+1）^2k+1能被（a²+a+1）整除，即n=k+1时命题也成立，
∴对任意n∈N^*原命题成立．

点评 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．