Question

10．已知f（x）=x³+ax-2b，如果f（x）的图象在切点P（1，-2）处的切线与圆（x-2）²+（y+4）²=5相切，那么3a+2b=-7．

Answer 1

分析 求出导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程求得切线方程，再由直线和圆相切的条件，化简可得a，再由切点满足f（x），可得b，即可计算3a+2b．

解答 解：f（x）=x³+ax-2b的导数为f′（x）=3x²+a，
即有在切点P（1，-2）处的切线斜率为3+a，
则在切点P（1，-2）处的切线方程为y+2=（3+a）（x-1），
即为（3+a）x-y-（5+a）=0，
由于切线与圆（x-2）²+（y+4）²=5相切，
则$\frac{|6+2a+4-5-a|}{\sqrt{1+（3+a）^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
化简即为（2a+5）²=0，解得a=-$\frac{5}{2}$，
又切点（1，-2）满足f（x）=x³+ax-2b，
即有-2=1+a-2b，
解得b=$\frac{1}{4}$，
则3a+2b=-$\frac{15}{2}$+$\frac{1}{2}$=-7．
故答案为：-7．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查直线和圆的位置关系：相切，考查运算能力，属于基础题．