Question

6．在曲线y=x²（x≥0）上某一点A处作一条切线使之与曲线以及x轴围成的面积为$\frac{1}{12}$，则以A为切点的切线方程为
（　　）

• A． y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2}$
• B． y=2x-1
• C． y=2x+1
• D． y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求切点A的坐标及过切点A的切线方程，先求切点A的坐标，设点A的坐标为（a，a²），只须在切点处的切线方程，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线的方程进而求得面积的表达式．最后建立关于a的方程解之即得．最后求出其斜率的值即可，即导数值即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答 解：如图所示，设切点A（x₀，y₀），
由y′=2x，得过点A的切线方程为：
y-y₀=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²．
令y=0，得x=$\frac{{x}_{0}}{2}$，即C（$\frac{{x}_{0}}{2}$，0）．
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S．
S_{曲边三角形AOB}=${∫}_{0}^{{x}_{0}}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{0}^{{x}_{0}}$=${{x}_{0}}^{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|BC|•|AB|=$\frac{1}{2}$（x₀-$\frac{{x}_{0}}{2}$）•x₀²=$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{3}$．
∴S=$\frac{1}{3}$${{x}_{0}}^{3}$-${{\frac{1}{4}x}_{0}3}^{\;}$=$\frac{1}{12}$${{x}_{0}}^{3}$．
由$\frac{1}{12}{{x}_{0}}^{3}$=$\frac{1}{12}$得x₀=1，
从而切点A的坐标为（1，1），
切线方程为y=2x-1．
故选B．

点评 本题主要考查了导数的几何意义及定积分的简单应用，在用定积分求面积时注意被积函数的确定．