Question

1．已知抛物线y²=4x的准线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于A，B两点，点O为坐标原点若双曲线的离心率为2，则三角形AOB的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程可得A，B两点的纵坐标分别y=$\frac{b}{a}$和y=-$\frac{b}{a}$，由双曲线的离心率为2，可得c=2a，再由a，b，c的关系，可得b=$\sqrt{3}$a，运用三角形的面积公式，即可求出△AOB的面积．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y=±$\frac{b}{a}$x，
又∵抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，
双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线
与抛物线y²=4x的准线分别交于A，B两点，
∴A，B两点的纵坐标分别是y=$\frac{b}{a}$和y=-$\frac{b}{a}$，
∵△AOB的面积为$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2b}{a}$=$\frac{b}{a}$，
由于双曲线的离心率为2，即c=2a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
则△AOB的面积为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，离心率的求法，是基础题．