Question

13．如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，则点P在平面α内的轨迹是（　　）

• A． 圆的一部分
• B． 一条直线
• C． 一条直线
• D． 两条直线

Answer 1

分析 以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，写出点A，B的坐标，根据条件得出Rt△APD∽Rt△CPB，进而得出$\frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，设出点P的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式，即可得到结论．

解答 解：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
设点P（x，y），A（-3，0），B（3，0），
∵AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{AD}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
即（x-3）²+y²=4[（x+3）²+y²]，
整理得：（x+5）²+y²=16，
故点P的轨迹是圆的一部分．
故选：A．

点评 本题以立体几何为载体考查轨迹问题，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，同时考查了运算能力，是一道不错的综合题，考查了转化能力，属于难题．