Question

12．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a．
（1）求证：体对角线BD₁⊥面A₁DC₁；
（2）求点A到面A₁BD的距离．

Answer 1

分析 （1）利用向量法，证明BD₁⊥A₁C₁，BD₁⊥A₁D，即可证明BD₁⊥面A₁DC₁；
（2）建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标，求出向量$\overrightarrow{AB}$，求出平面A₁BD的法向量，利用空间向量求解距离的计算公式求解即可．

解答 （1）证明：连接A₁C₁交B₁D₁于一点O₁，
在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
又正方体中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
所以，BB₁⊥B₁D₁，又BB₁∩B₁D₁=B₁，
所以A₁C₁⊥平面DBB₁，又D₁B?平面DBB₁，
所以A₁C₁⊥BD₁，
同理可证A₁D⊥BD₁，又 DA₁交A₁C₁于一点A₁，
所以BD₁⊥面A₁DC₁．
（2）解：建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D（0，0，0）、D₁（0，0，a）、B（a，a，0）、A₁（a，0，a），C₁=（0，a，a），由（1）可知：$\overrightarrow{{AC}_{1}}$是平面面A₁BD的法向量，$\overrightarrow{{AC}_{1}}=（-a，a，a）$，$\overrightarrow{AB}$=（0，a，0）．
因此，A到平面A₁DB的距离d=$\left|\frac{\overrightarrow{{AC}_{1}}•\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{{AC}_{1}}\right|}\right|$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

点评 本题着重考查了异面直线的判定，直线与平面位置关系中的垂直问题，证明思路是：要证线面垂直，需证线线垂直，在证明线线垂直过程中，往往需要通过证明线面垂直来实现，要注意线面垂直、线线垂直间的相互转化．同时考查点到平面的距离的求法，考查计算能力．