Question

2．已知f（x）是定义在[0，+∞]上，且以3π为周期的函数，若当x∈[0，3π]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[0，π]}\\{2sin（x-π），x∈（π，2π]}\\{4sin（x-2π），x∈（2π，3π]}\end{array}\right.$
（1）试写出函数y=f（x）在（3（k-1）π，3kπ]（k∈N^*）上的解析式；
（2）求当x∈[0，2015]时，方程|lgx|=f（x）的解的个数．

Answer 1

分析 （1）根据函数的周期性即可写出函数y=f（x）在（3（k-1）π，3kπ]（k∈N^*）上的解析式；
（2）根据方程和函数之间的关系，作出函数y=|lgx|和y=f（x）的图象，结合对数函数的性质即可求当x∈[0，2015]时，方程|lgx|=f（x）的解的个数．

解答 解：（1）当x∈[0，3π]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，}&{x∈[0，π]}\\{-2sinx，}&{x∈（π，2π]}\\{4sinx，}&{x∈（2π，3π]}\end{array}\right.$，
∵函数的周期是3π，
∴当x∈（3（k-1）π，3kπ]时，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，}&{x∈（（3k-3）π，（3k-2）π]}\\{-2sinx，}&{x∈（（3k-2）π，（3k-1）π]}\\{4sinx，}&{x∈（（3k-1）π，3kπ]}\end{array}\right.$．
（2）当x∈[0，2015]时，作出函数f（x）与y=|lgx|的图象如图：
当x＞1时，由lgx=1得x=10，由lgx=2得x=100，由lgx=4得x=10000，
即当0≤x≤3π时，两个函数有6个交点，
当3π＜x≤33π时，两个函数每个周期内有4交点，有10个周期，
共10×4=40个交点，
当33π＜x≤642π时，两个函数每个周期内有2交点，有203个周期，
共有203×2=406个交点，
综上当x∈[0，2015]时，方程|lgx|=f（x）的解的个数为6+40+406=452个根．

点评 本题主要考查函数周期性的应用以及函数解析式的求解，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合即可求解方程根的个数，注意要点函数的区间进行讨论．