Question

17．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数；
（3）是使f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据单调性的定义即可判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）根据函数为奇函数，利用f（0）=0进行求解；
（3）利用参数分离法，结合指数函数的性质进行求解．

解答 解：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（2）若f（x）是奇函数，则f（0）=0，
即f（0）=a-$\frac{2}{1+1}$=a-1=0，解得a=1．
（3）若f（x）≥0恒成立，即a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$≥0恒成立，
则a≥$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵2^x+1＞1，∴0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
∴0＜$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜2，
则a≥2．

点评 本题主要考查函数奇偶性单调性以及不等式恒成立的判断，利用定义法是解决本题的关键．