Question

7．已知函数f（x）=lnx-mx，m∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤$\frac{m-1}{x}$-2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对原函数求导数，然后通过解导数大于零或小于零的不等式得到原函数的单调区间；
（2）先将原不等式归零化简，然后通过求函数的最值解决问题，只需利用导数研究函数的单调性即可，注意分类讨论．

解答 解：由题意可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}-m$．
（1）当m≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当m＞0时，令f′（x）＞0，解得$0＜x＜\frac{1}{m}$，令f′（x）＜0，解得$x＞\frac{1}{m}$．
所以当m≤0时，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{m}$），单调减区间为（$\frac{1}{m}，+∞$）．
（2）因为$f（x）≤\frac{m-1}{x}-2m+1$在[1，+∞）上恒成立．
即$mx+\frac{m-1}{x}+1-2m-lnx≥0$在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=$mx+\frac{m-1}{x}+1-2m-lnx，x∈[1，+∞）$，
则$g′（x）=m-\frac{m-1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{m（x-1）（x-\frac{1-m}{m}）}{{x}^{2}}$，
（1）当$\frac{1-m}{m}＞1$，即$0＜m＜\frac{1}{2}$时，若$1＜x＜\frac{1-m}{m}$，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x）＜g（1）=0，即g（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立；
（2）当$\frac{1-m}{m}≤1$，即$m≥\frac{1}{2}$时，
若x＞1，则g′（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，
即$f（x）＜\frac{m-1}{x}-2m+1$，故当x≥1时，f（x）$≤\frac{m-1}{x}-2m+1$恒成立．
综上所述，所求的正实数m的取值范围是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性的思路，以及不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解的基本思想．