Question

2．已知直线l：y=ax+b与曲线F：x=$\frac{1}{y}$+y没有公共点，若平行于l的直线与曲线F有且只有一个公共点，则符合条件的直线l（　　）

• A． 不存在
• B． 恰有一条
• C． 恰有两条
• D． 有无数条

Answer 1

分析 由直线L和T无公共点，可知平移直线后直线与曲线F相切，即可得到结论．

解答 解：由曲线T：x=$\frac{1}{y}$+y，得$y=\frac{x-\sqrt{{x}^{2}-4}}{2}$或$y=\frac{x+\sqrt{{x}^{2}-4}}{2}$．
∵直线L：y=ax+b与曲线T：x=$\frac{1}{y}$+y没有公共点，
∴直线y=ax+b与双曲线的渐近线平行，
∴平移后直线y=ax+b与曲线F相切，
各有一条切线，
∴平行L的直线与曲线T有且只有一个公共点的直线有2条，
故选：C

点评 本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的判断，利用条件转化切线问题是解决本题的关键．