Question

7．设f（x）=x²+alnx，其中a∈R．曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l垂直于y轴．
（Ⅰ）确定a的值并求切线l的方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；然后求解切线方程．
（Ⅱ）求出函数的定义域，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，然后求解函数的极值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²+alnx，其中a∈R．函数的定义域为x＞0，函数的导数为：
f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l垂直于y轴．
可得：f′（x）|_x=1=2+a=0，
解得a=-2．
（Ⅱ）函数f（x）=x²-2lnx的定义域为（0，+∞），
当f′（x）=$2x-\frac{2}{x}$＞0，可得x＞1时，函数递增；
当f′（x）=$2x-\frac{2}{x}$＜0，可得0＜x＜1时，函数递减，
则f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间（0，1）．
x=1时函数取得极小值：f（1）=1²-2ln1=1．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．