Question

14．用数学归纳法证明（n²-1）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=$\frac{1}{4}$n²（n²-1）（n∈N₊）

Answer 1

分析 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 证明：（1）当n=1时，可知等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即（k²-1）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）=$\frac{1}{4}$k²（k²-1），
则当n=k+1时，左边=1•[（k+1）²-1²]+2[（k+1）²-2²]+…+k[（k+1）²-k²]+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]
=1•（k²-1²）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）+1•（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=$\frac{1}{4}$k⁴+（-$\frac{1}{4}$）k²+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=$\frac{1}{4}$k⁴+（-$\frac{1}{4}$）k²+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=$\frac{1}{4}$k⁴+（-$\frac{1}{4}$）k²+（2k+1）×$\frac{k（k+1）}{2}$
=$\frac{1}{4}$（k⁴+4k³+6k²+4k+1）-$\frac{1}{4}$（k²+2k+1）．
=$\frac{1}{4}$（k+1）⁴-$\frac{1}{4}$（k+1）²．
∴当n=k+1时，等式成立．
由（1）（2）得（n²-1）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=$\frac{1}{4}$n²（n²-1）（n∈N₊）．

点评 本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．