Question

2．已知椭圆W：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，Q是椭圆上的任意一点，且点Q到椭圆左右焦点F₁，F₂的距离和为4．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）经过点（0，1）且互相垂直的直线l₁、l₂分别与椭圆交于A、B和C、D两点（A、B、C、D都不与椭圆的顶点重合），E、F分别是线段AB、CD的中点，O为坐标原点，若k_OE、k_OF分别是直线OE、OF的斜率，求证：k_OE•k_OF为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点Q到椭圆左右焦点的距离和为4．可得a=2，利用离心率，可解得c，然后求解b，即可求得椭圆W的标准方程．
（Ⅱ）由已知设l₁：y=kx+1，l₂：y=-$\frac{1}{k}$x+1；点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、E（x_E，y_E）、F（x_F，y_F），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kx-8=0，由△＞0，可解得k_OK，k_OF，从而可求解k_OE•k_OF=-$\frac{9}{16}$．

解答 （本小题共14分）
解：（Ⅰ）∵点Q到椭圆左右焦点的距离和为4．
∴2a=4，a=2．
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴c=1，b²=a²-c²=3．
∴椭圆W的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$                            …（5分）
（Ⅱ）∵直线l₁、l₂经过点（0，1）且互相垂直，又A、B、C、D都不与椭圆的顶点重合
∴设l₁：y=kx+1，l₂：y=-$\frac{1}{k}$x+1；点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、E（x_E，y_E）、F（x_F，y_F），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kx-8=0
∵点（0，1）在椭圆内，∴△＞0
∴x₁+y₁=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，
∴x_E=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4k}{3+4{k}^{2}}$，y_E=kx_E+1=$\frac{3}{3+4{k}^{2}}$
∴k_OK=$\frac{{y}_{K}}{{x}_{K}}$=-$\frac{3}{4k}$，
同理k_OF=$\frac{{y}_{F}}{{x}_{F}}$=-$\frac{3}{4（-\frac{1}{K}）}$=$\frac{3k}{4}$，
∴k_OE•k_OF=-$\frac{9}{16}$．                                          …（14分）

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．