Question

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；
（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求$\frac{AF}{AB}$的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG?平面PAD，CE?平面PAD，即证明CE∥平面PAD．
（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=0}\end{array}\right.$，令x=1，则可得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．
（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，可解a，然后求得$\frac{AF}{AB}$的值．

解答 解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．
因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，
所以BE∥AG且BE=AG，
所以四边形BEGA为平行四边形．
所以EG∥AB，且EG=AB．
因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，
所以EG∥CD，且EG=CD．
所以四边形CDGE为平行四边形．
所以CE∥DG．
因为DG?平面PAD，CE?平面PAD，
所以CE∥平面PAD．
（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），
E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），
所以$\overrightarrow{PC}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{PE}$=（4，0，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，4，-4）．
设平面PCE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{2x-z=0}\end{array}\right.$．
令x=1，则$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{x=1}{y=1}}\\{z=2}\end{array}\right.$，所以$\overrightarrow{m}$=（1，1，2）．
设PD与平面PCE所成角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PD}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{m}|}$=|$\frac{-4}{\sqrt{6}×4\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．．
所以PD与平面PCE所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．              
（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则$\overrightarrow{FE}=（4-a，0，2）$，$\overrightarrow{DE}$=（4，-4，2）．
设平面DEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{FE}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{2x-2y+z=0}\\{（4-a）x+2z=0}\end{array}}\right.$．
令x=2，则$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{x=2}{y=\frac{a}{2}}}\\{z=a-4}\end{array}\right.$，
所以$\overrightarrow{n}$=（2，$\frac{a}{2}$，a-4）．
因为平面DEF⊥平面PCE，
所以$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，即2+$\frac{a}{2}$+2a-8=0，
所以a=$\frac{12}{5}$＜4，点$F（\frac{12}{5}，0，0）$．
所以$\frac{AF}{AB}=\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．