Question

12．过圆x²+y²=r²内部一点M（a，b）作动弦AB过A，B分别作圆的切线，设两条切线的交点P，求证：点P恒在一条直线上运动．

Answer 1

分析 先求出过A，B的圆的切线方程，利用P为两切线的交点，可得A、B在直线l：x₀x+y₀y=r²上，代入M（a，b），即可证明结论．

解答 证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
∴切线l_A：x₁x+y₁y=r²，l_B：x₂x+y₂y=r²，
∵P为两切线的交点（P在两切线上），
∴x₁x₀+y₁y₀=r²，x₂x₀+y₂y₀=r²，
∴A、B在直线l：x₀x+y₀y=r²上，即直线AB为l：x₀x+y₀y=r²，
∵M在AB上，
∴代入M（a，b）得ax₀+by₀=r²，
∴P恒在l：ax+by=r²上

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．