Question

20．某教研机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 了n位一线教师（n＞8且n∈N^*），其中有6位教师使用人教A版教材，其余使用北师大版教材．
（Ⅰ）从这N位一线教师中随机选出2位，若他们使用不同版本教材的概率不小于$\frac{1}{2}$，求N的最大值；
（Ⅱ）当N=12时，设选出的2位教师中使用人教A版教材的人数为ζ，求ξ的分布列和均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意得出概率P=$\frac{{{C}_{n-6}^{1}C}_{6}^{1}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{12（n-6）}{n（n-1）}$，列出不等式则$\frac{12（n-6）}{n（n-1）}$$≥\frac{1}{2}$，求解即可．
（Ⅱ）确定随机变量得出ξ的可能取值为0，1，2，再根据题意分别得出概率P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{5}{22}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{6}^{1}C}_{6}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{6}{11}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{5}{22}$，列出分布列即可．

解答 解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“使用版本不同”的概率P=$\frac{{{C}_{n-6}^{1}C}_{6}^{1}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{12（n-6）}{n（n-1）}$，
则$\frac{12（n-6）}{n（n-1）}$$≥\frac{1}{2}$，
化简得n²-25n+144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值为16；
（Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2，
则P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{5}{22}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{6}^{1}C}_{6}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{6}{11}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{5}{22}$，
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{5}{22}$	$\frac{6}{11}$	$\frac{5}{22}$

∴Eξ=0×$\frac{5}{22}$+1×$\frac{6}{11}$$+2×\frac{5}{22}$=1．

点评 本题考查了古典概率分布在实际问题中的应用，关键是确定随机变量以及相应的概率，列出分布列，不等式求解，难度较大，属于中档题．