Question

10．如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=$\frac{2}{3}$AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=$\frac{1}{2}$PO．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；
（Ⅱ）求二面角B-DC-O的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45°，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可．

解答 （Ⅰ）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，
由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，
∴DA⊥AO．从而$DO=\sqrt{2}，PD=\sqrt{2}$，
在△PDO中，∵PO=2，
∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．
又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，
∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，
∴PO⊥OC，
又PO，AB?平面PAB，PO∩AB=O，
∴CO⊥平面PAB．
故CO⊥PD．
∵CO∩DO=O，
∴PD⊥平面COD．
（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图．
则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{PD}=（0，-1，-1），\overrightarrow{BC}=（2，-2，0），\overrightarrow{BD}=（0，-3，1）$，
由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴$\overrightarrow{PD}$是平面DCO的一个法向量，
设平面BDC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}2x-2y=0\\-3y+z=0\end{array}\right.$，
令y=1，则x=1，z=3，∴$\overrightarrow n=（1，1，3）$，
∴$cos＜\overrightarrow{PD}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow n|}}=\frac{-1-3}{{\sqrt{2}\sqrt{11}}}=-\frac{{2\sqrt{22}}}{11}$，
由图可知：二面角B-DC-O为锐角，二面角B-DC-O的余弦值为$\frac{{2\sqrt{22}}}{11}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力．