Question

5．如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的动点，四边形ABCD 为矩形，且AB=2，AD=1，平面ABCD⊥平面ABE．
（1）求证：BE⊥平面DAE；
（2）当点E在$\widehat{AB}$的什么位置时，四棱锥E-ABCD的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质可得：DA⊥AB，利用面面垂直的性质定理可得：DA⊥平面ABE，利用圆的性质可得AE⊥BE，即可证明．
（2）利用面面垂直的性质与线面垂直的判定定理可得：EH⊥平面ABCD．在Rt△BAE中，设∠BAE=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），利用V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}×HE$=$\frac{1}{3}×2×1×sin2α$=$\frac{2}{3}sin2α$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得α，即可得出点E的位置．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴DA⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABE，
且平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，
而BE?平面ABE，∴DA⊥BE．
又∵AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的
动点，∴AE⊥BE．
∵DA∩AE=A，∴BE⊥平面DAE．
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，过点E作EH⊥AB交AB于点H，则EH⊥平面ABCD．
在Rt△BAE中，设∠BAE=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
∵AB=2，∴AE=2cosα，HE=AEsinα=2sinαcosα=sin2α，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}×HE$=$\frac{1}{3}×2×1×sin2α$=$\frac{2}{3}sin2α$．
由已知V_E-ABCD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{2}{3}sin2α=\frac{\sqrt{3}}{3}$，化为sin2α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴$2α=\frac{π}{3}$，即$α=\frac{π}{6}$；
或2$α=\frac{2π}{3}$，即$α=\frac{π}{3}$．
于是点E在$\widehat{AB}$满足$∠EAB=\frac{π}{6}$或$∠EAB=\frac{π}{3}$时，四棱锥E-ABCD的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、圆的性质、四棱锥的体积计算公式、三角函数的计算与性质，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．