Question

15．已知x＞1，y＞1，求证$\sqrt{xy}$≥1+$\sqrt{（x-1）（y-1）}$．

Answer 1

分析 分析使不等式$\sqrt{xy}$≥1+$\sqrt{（x-1）（y-1）}$成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．

解答 证明：由题意，即证明$\sqrt{xy}$-1≥$\sqrt{（x-1）（y-1）}$，
两边平方得：xy-2$\sqrt{xy}$+1≥xy-（x+y）+1，
只要证明：-2$\sqrt{xy}$≥-（x+y），
只要证明：2$\sqrt{xy}$≤x+y，
利用基本不等式，显然成立，
∴$\sqrt{xy}$≥1+$\sqrt{（x-1）（y-1）}$．

点评 用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件．