Question

3．已知（x+$\frac{1}{x}$-2）⁹，展开式x³的系数为18564．

Answer 1

分析 把三项式写成二项式，求出二项式展开式的通项公式，再利用二项式的展开式通项公式，令x的幂指数等于3，求出r、a的值，从而求出x³项的系数．

解答 解：二项式${（x+\frac{1}{x}-2）}^{9}$=${[（x+\frac{1}{x}）-2]}^{9}$
展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（x+\frac{1}{x}）}^{9-r}$•（-2）^r．
对于${（x+\frac{1}{x}）}^{9-r}$，它的通项公式为T_a+1=${C}_{9-r}^{a}$•x^9-r-a•${（\frac{1}{x}）}^{a}$=${C}_{9-r}^{a}$•x^9-r-2a，
其中，a≤9-r，0≤r≤9，r、a都是自然数；
令9-r-2a=3，解得$\left\{\begin{array}{l}{r=0}\\{a=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{a=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{r=4}\\{a=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{r=6}\\{a=0}\end{array}\right.$；
∴展开式中x³项的系数为
${C}_{9}^{0}$•（-2）⁰•${C}_{9}^{3}$+${C}_{9}^{2}$•（-2）²•${C}_{7}^{2}$+${C}_{9}^{4}$•（-2）⁴•${C}_{5}^{1}$+${C}_{9}^{6}$•（-2）⁶•${C}_{3}^{0}$
=84+3024+10080+5376=18564，
故答案为：18564．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，解题的关键是二项式展开式通项公式的灵活应用，是综合性题目．