Question

13．若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-4的最小距离为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-4平行时，点P到直线y=x-4的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x-4的距离即为所求．

解答 解：点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x-4平行时，
点P到直线y=x-4的距离最小．
直线y=x-4的斜率等于1，
y=x²-lnx的导数y′=2x-$\frac{1}{x}$
令y′=1，解得x=1，或 x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲线y=x²-lnx上和直线y=x-4平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x-4的距离d=，
故点P到直线y=x-4的最小距离为d=$\frac{|1-1-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查点到直线的距离公式的应用，求出函数的导数及运用两直线平行的条件是解题的关键，体现了转化的数学思想．