Question

3．已知f（x）=2sinxcosx+cos²x-sin²x．
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）最大最小值以及相应的x值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），可得函数的最小正周期．
（2）根据f（x）的解析式、利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）最大最小值以及相应的x值．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+cos²x-sin²x=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最大值为$\sqrt{2}$，此时，2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得 x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈z，故f（x）最大最为$\sqrt{2}$，相应的x值为x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈z．
函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最小值为-$\sqrt{2}$，此时，2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
求得 x=kπ-$\frac{3π}{8}$，k∈z，故f（x）最大最为-$\sqrt{2}$，相应的x值为x=kπ-$\frac{3π}{8}$，k∈z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，三角函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．