Question

18．已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞1时，求f（x）的单调区间与极值点．

Answer 1

分析 （1）求出a=1时的函数的导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极值点．

解答 解：（1）当a=1，f（x）=x²-4x+2lnx，
所以$f'（x）=\frac{{2{x^2}-4x+2}}{x}（x＞0）$，f（1）=-3，f'（1）=0，
所以切线方程为y=-3．
（2）$f'（x）=\frac{{2{x^2}-2（a+1）x+2a}}{x}=\frac{2（x-1）（x-a）}{x}（x＞0）$，
由f'（x）=0得x₁=a，x₂=1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．
x=1是函数f（x）的极大值点，x=a是函数f（x）的极小值点．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和不等式的解法，属于基础题．