Question

10．已知函数f（x）=$\frac{4{x}^{3}}{3a}$+b（a＞0）与g（x）=clnx在x=1处的切线平行，则$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值为$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 求出函数f（x）和g（x）的导数，求得切线的斜率，运用两直线平行的条件可得ac=4，再由基本不等式即可求得所求的最大值．

解答 解：f（x）=$\frac{4{x}^{3}}{3a}$+b（a＞0）的导数为f′（x）=$\frac{4}{a}$x²，
g（x）=clnx的导数为g′（x）=$\frac{c}{x}$，
由于在x=1处的切线平行，
即有c=$\frac{4}{a}$（c＞0，a＞0），
即ac=4，
则$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$=$\frac{a+9c+18}{a+9c+9+ac}$
=$\frac{a+9c+18}{a+9c+13}$=1+$\frac{5}{a+9c+13}$，
由于a+9c≥2$\sqrt{9ac}$=12，
当且仅当a=9c=6时，取得等号．
即有$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$≤1+$\frac{5}{12+13}$=$\frac{6}{5}$．
即有当a=6，c=$\frac{2}{3}$时，$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值为$\frac{6}{5}$．
故答案为：$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线平行的条件和基本不等式的运用，属于中档题．