Question

3．己知函数f（x）=ae^x+x²，g（x）=sinx+bx，直线l与曲线C₁：y=f（x）切于点（0，f（0））且与
曲线C₂：y=g（x）切于点（$\frac{π}{2}$，g（$\frac{π}{2}$））．
（I）求a，b的值和直线l的方程．
（Ⅱ）证明：除切点外，曲线C₁，C₂位于直线l的两侧．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得切线的斜率和切线方程，再由切线唯一，即可求得a，b和切线方程；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-（x+1）=e^x+x²-x-1，运用导数，求得最小值大于0，再设G（x）=x+1-g（x），由正弦函数的值域可得G（x）≥0，即可得到f（x）＞g（x），即可得证．

解答 解：（Ⅰ）f（x）和g（x）的导数分别为f′（x）=ae^x+2x，g′（x）=cosx+b，
即有f（0）=a，f′（0）=a，g（$\frac{π}{2}$）=1+$\frac{π}{2}$b，g′（$\frac{π}{2}$）=b，
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线为y=ax+a，
曲线y=g（x）在点（$\frac{π}{2}$，g（$\frac{π}{2}$））处的切线为：
y=b（x-$\frac{π}{2}$）+1+$\frac{π}{2}$b，即y=bx+1．
依题意，有a=b=1，直线l方程为y=x+1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）=e^x+x²，g（x）=sinx+x．
设F（x）=f（x）-（x+1）=e^x+x²-x-1，则F′（x）=e^x+2x-1，
当x∈（-∞，0）时，F′（x）＜F′（0）=0；
当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞F′（0）=0．
F（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
故F（x）≥F（0）=0．
设G（x）=x+1-g（x）=1-sinx，则G（x）≥0，
当且仅当x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时等号成立．
综上可知，f（x）≥x+1≥g（x），且两个等号不同时成立，
因此f（x）＞g（x）．
所以除切点外，曲线C₁，C₂位于直线l的两侧．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用，三角函数的图象和性质，属于中档题和易错题．