Question

16．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，E为BC中点
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面AB₁E
（Ⅱ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅲ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB=2，求直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结A₁B，使A₁B∩AB₁=O，连结EO，证明：EO∥A₁C，即可证明A₁C∥平面AB₁E；
（Ⅱ）取AB的中点O，连接OC，OA₁，A₁B，由已知可证OA₁⊥AB，AB⊥平面OA₁C，进而可得AB⊥A₁C；
（Ⅲ）易证OA，OA₁，OC两两垂直．以O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$的方向为x轴的正向，|$\overrightarrow{OA}$|为单位长，建立坐标系，求出平面BB₁C₁C的法向量，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，代入向量夹角公式，可得答案．

解答 （Ⅰ）证明：连结A₁B，使A₁B∩AB₁=O，连结EO，
因为ABB₁A₁为平行四边形，所以O为A₁B中点，
又因为E为BC中点，所以EO∥A₁C，
又因为EO?平面AB₁EA₁C?平面AB₁E，
所以，A₁C∥平面AB₁E．…（4分）
（Ⅱ）解：取AB的中点O，连接OC，OA₁，A₁B，
因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
所以△AA₁B为等边三角形，所以OA₁⊥AB，
又因为OC∩OA₁=O，所以AB⊥平面OA₁C，
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C；  …（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC两两垂直．
以O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$的方向为x轴的正向，|$\overrightarrow{OA}$|为单位长，建立如图所示的坐标系，
可得A（1，0，0），A₁（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），B（-1，0，0），
则$\overrightarrow{BC}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面BB₁C₁C的法向量，
则$\left\{{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}}\right.$，
可取y=1，可得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），
故cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$＞=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，…（10分）
∴直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$  …（12分）

点评 本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属中档题．