Question

8．如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=$\frac{1}{2}$AF，BC=$\sqrt{2}$AB，∠CBA=$\frac{π}{4}$，P为DF的中点．
（1）求证：PE∥平面ABCD；
（2）求平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （I）如图所示，取AD的中点M，连接MP，MB．又P为DF的中点．利用三角形的中位线定理可得$MP\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，验证$BE\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，可得$MP\underset{∥}{=}BE$，四边形BMPE为平行四边形，得到PE∥BM，可得PE∥平面ABCD；
（II）连接AC，在△ABC中，由余弦定理可得AC=AB，AC⊥AB．由平面ABCD⊥平面ABEF，可得AC⊥平面ABEF．分别以AB，AF，AC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可设AB=1，设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．取平面ABCD的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （I）证明：如图所示，取AD的中点M，连接MP，MB．又P为DF的中点．
∴$MP\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，
又∵$BE\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AF$，
∴$MP\underset{∥}{=}BE$，
∴四边形BMPE为平行四边形，
∴PE∥BM，
而PE?平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴PE∥平面ABCD；
（II）解：连接AC，在△ABC中，BC=$\sqrt{2}$AB，∠CBA=$\frac{π}{4}$，
由余弦定理可得：AC²=BC²+AB²-2BC•ABcos∠CBA=$2A{B}^{2}+A{B}^{2}-2\sqrt{2}A{B}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=AB²，
∴AC=AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，AC⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴AC⊥平面ABEF．
分别以AB，AF，AC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），E（1，1，0），C（0，0，1），D（-1，0，1），F（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{DE}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{DF}$=（1，2，-1）．
设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-z=0}\\{x+2y-z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=1，z=3．
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，3）．
取平面ABCD的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），则$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{11}}$=$\frac{\sqrt{11}}{11}$．
∴平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为$\frac{\sqrt{11}}{11}$．

点评 本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．