Question

19．将函数y=f（x）的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{3}{π}$倍，然后再向上平移1个单位长度，得到函数y=$\sqrt{3}$sinx的图象．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求使得y=f（x）取得最值的自变量的集合．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性、单调性求得f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）根据函数的解析式、正弦函数的定义域和值域，求出使得y=f（x）取得最值的自变量的集合．

解答 解：（1）由题意可得把函数y=$\sqrt{3}$sinx的图象向下平移1个单位长度，可得y=$\sqrt{3}$sinx-1的图象；
再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{π}{3}$倍，可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$x）-1的图象；
再把所得图象向右平移1个单位长度，可得y=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$（x-1）-1=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）-1 的图象；
故f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得6k-$\frac{1}{2}$≤x≤6k+$\frac{5}{2}$，
故函数的增区间为[6k-$\frac{1}{2}$，6k+$\frac{5}{2}$]，k∈z．
（2）对于f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）-1，当$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=3k+$\frac{5}{2}$，k∈z时，函数f（x）取得最值．
故使得y=f（x）取得最值的自变量的集合为{x|x=3k+$\frac{5}{2}$，k∈z}．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．