Question

9．已知O₁，O₂，O₃分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三个面A₁B₁C₁D₁，CC₁D₁D，BCC₁B₁的中点，求异面直线AO₁与O₂O₃所成角的大小．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，可得相关点的坐标，进而可得向量$\overrightarrow{A{O}_{1}}$和$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{3}}$可得坐标，由向量的夹角和直线所成角的关系可得．

解答 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），O₁（1，1，2），O₂（1，2，1），O₃（2，1，1），
∴$\overrightarrow{A{O}_{1}}$=（1，1，2），$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{3}}$=（1，-1，0），
∴$\overrightarrow{A{O}_{1}}$•$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{3}}$=1×1+1×（-1）+2×0=0，
∴$\overrightarrow{A{O}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{3}}$，∴异面直线AO₁与O₂O₃所成角为90°

点评 本题考查异面直线所成的角，建系转化为向量的夹角是解决问题的关键，属中档题．