Question

14．设θ∈（${-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$），则关于θ的方程2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$=tanθ的解的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 首先可判断方程2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$=tanθ若有解，解在区间[0，$\frac{π}{2}}$）上，再令f（θ）=2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$-tanθ，从而判断函数的单调性及取值情况即可．

解答 解：∵2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$＞0，
∴方程2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$=tanθ若有解，解在区间[0，$\frac{π}{2}}$）上，
令f（θ）=2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$-tanθ，
则f（θ）=2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$-tanθ在[0，$\frac{π}{2}}$）上是减函数，
f（0）=$\frac{1}{2}$-0=$\frac{1}{2}$，
$\underset{lim}{θ→\frac{π}{2}}$（2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$-tanθ）=-∞；
故方程2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$=tanθ在[0，$\frac{π}{2}}$）上有且只有一个解，
故关于θ的方程2${\;}^{\frac{-1}{cosθ}}$=tanθ的解的个数为1，
故选B．

点评 本题考查了根的个数的判断，应用到了方程与函数的关系及函数的单调性及取值的判断，属于基础题．