Question

19．求函数f（x）=e^x．（x≤1）的切线与坐标轴围城的三角形面积的最大值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，以及切线和坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可得到结论

解答 解：∵f（x）=e^x，∴f′（x）=e^x，
设点P（x₀，f（x₀））的切线方程为y-ex0=ex0（x-x₀），
令x=0，解得y=ex0（1-x₀），
令y=0，解得x=x₀-1，
∵x₀≤1，∴x=x₀-1≤0，
则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$|x₀-1|ex0（1-x₀）=$\frac{1}{2}$ex0（1-x₀）²，
则S′=$\frac{1}{2}$ex0（-1+x₀²），
∴当x₀＜-1时，S′＞0，函数单调递增，
当-1＜x₀＜0时，S′＜0，函数单调递减，
即当x₀=-1时，函数取得极大值也是最大值，
∴此时最大值为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{e}×4$=$\frac{2}{e}$．
所以函数f（x）=e^x．（x≤1）的切线与坐标轴围城的三角形面积的最大值为$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和极值，综合性较强，运算量较大，属于中档题．