Question

9．若α适合条件sin$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{1+sinα}$+$\sqrt{1-sinα}$），则$\frac{α}{2}$的取值范围是（　　）

• A． [2kπ，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z
• B． [2kπ+$\frac{π}{2}$，（2k+1）π]，k∈Z
• C． [2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z
• D． [2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]，k∈Z

Answer 1

分析 已知等式右边被开方数利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系变形，利用二次根式的性质判断出sin$\frac{α}{2}$＞cos$\frac{α}{2}$，即可确定出$\frac{α}{2}$的取值范围．

解答 解：$\frac{1}{2}$（$\sqrt{1+sinα}$+$\sqrt{1-sinα}$）=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{（sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}）^{2}}$]=$\frac{1}{2}$（|sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$|+|sin$\frac{α}{2}$-cos$\frac{α}{2}$|）=$\frac{1}{2}$（sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$+sin$\frac{α}{2}$-cos$\frac{α}{2}$）=sin$\frac{α}{2}$，
∴sin$\frac{α}{2}$-cos$\frac{α}{2}$＞0，即sin$\frac{α}{2}$＞cos$\frac{α}{2}$，且sin$\frac{α}{2}$＞0，
则$\frac{α}{2}$的取值范围是[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．
故选：C．

点评 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．