Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1（n∈N^*）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证：{b_n}是等差数列；
（2）令c_n=（$\frac{2n-1}{n+1}$）a_n，求数列{c_n}的前8项和T₈．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系，结合等差数列的定义利用构造复数即可证明{b_n}是等差数列；
（2）求出c_n=（$\frac{2n-1}{n+1}$）a_n的通项公式，利用错位相减法进行求和即可．

解答 证明：（1）∵S_n=3-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1（n∈N^*）．
∴当n≥2时，S_n-1=3-a_n-1-（$\frac{1}{2}$）^n-2（n∈N^*）．
两式作差得S_n-S_n-1=3-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1-[3-a_n-1-（$\frac{1}{2}$）^n-2]=（$\frac{1}{2}$）^n-1+a_n-1-a_n，
即2a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1+a_n-1，
等式两边同时乘以2^n-1，得2ⁿa_n=1+2^n-1a_n-1，
即b_n=1+b_n-1，
则b_n-b_n-1=1，故{b_n}是等差数列；
解：（2）当n=1时，S₁=3-a₁-1．
即a₁=1．
∵{b_n}是等差数列，公差d=1，首项为2a₁=2，
∴b_n=2ⁿa_n=2+n-1=n+1，
则a_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
则c_n=（$\frac{2n-1}{n+1}$）a_n=（$\frac{2n-1}{n+1}$）$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
则数列{c_n}的前8项和T₈=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{15}{{2}^{8}}$，
则$\frac{1}{2}$T₈=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{4}}$+$…+\frac{13}{{2}^{8}}$+$\frac{15}{{2}^{9}}$，
两式作差得$\frac{1}{2}$T₈=$\frac{1}{2}$$+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{2}{{2}^{4}}+…+\frac{2}{{2}^{8}}$-$\frac{15}{{2}^{9}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}+…+$$\frac{1}{{2}^{7}}$-$\frac{15}{{2}^{9}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{7}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{15}{{2}^{9}}$
=$\frac{1}{2}$+1-（$\frac{1}{2}$）⁷-$\frac{15}{{2}^{9}}$=$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$）⁷-$\frac{15}{{2}^{9}}$，
则T₈=3-$（\frac{1}{2}）^{6}-\frac{15}{{2}^{8}}$．

点评 本题主要考查等差数列的证明以及数列的求和，利用错位相减法是解决数列求和的一种基本方法，考查学生的运算能力．