Question

8．甲、乙两人进行射击训练，命中率分别为$\frac{2}{3}$与P，且各次射击互不影响，乙射击2次均未命中的概率为$\frac{1}{25}$．
（1）求乙射击的命中率；
（2）若甲射击2次，乙射击1次，甲、乙两人一共命中次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据题目条件得出（1-P（B））²=$\frac{1}{25}$，0≤P≤1，求解即可．
（2）确定甲、乙两人一共命中次数记为ξ=0，1，2，3，
利用对立事件的概率得出：根据题意得出P（A）=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{A}$）=$\frac{1}{3}$，P（B）=$\frac{4}{5}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{1}{5}$，
根据事件的独立性，互斥性得出：P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）），P（ξ=3），列出分布列即可，再根据数学期望公式求解．

解答 解：（1）设“甲射击一次命中”的事件为A，“乙射击一次命中”的事件为B，A，B相互独立，
∵（1-P（B））²=$\frac{1}{25}$，0≤P≤1，
∴即P（B）=$\frac{4}{5}$，
故乙射击的命中率：，$\frac{4}{5}$．
（2）甲射击2次，乙射击1次，甲、乙两人一共命中次数记为ξ=0，1，2，3，
根据题意得出P（A）=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{A}$）=$\frac{1}{3}$，P（B）=$\frac{4}{5}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{1}{5}$，
根据事件的独立性，互斥性得出：
P（ξ=0）=（$\frac{1}{3}$）²×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{45}$，
P（ξ=1）=2×（$\frac{1}{3}$）×（$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{5}$+（$\frac{1}{3}$）²×$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{45}$，
P（ξ=2））=（$\frac{2}{3}$）²×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{20}{45}$=$\frac{4}{9}$，
P（ξ=3）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{45}$，
ξ的分布列，

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{1}{45}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{16}{45}$

数学期望：0×$\frac{1}{45}$$+1×\frac{8}{45}$$+2×\frac{4}{9}$$+3×\frac{16}{45}$=$\frac{96}{45}$=$\frac{32}{15}$

点评 本题考查了古典概率在实际问题中的应用，利用独立事件，互斥事件求解，准确分类，准确计算，思路要清晰，认真，难度不是很大，属于中档题．