Question

10．若函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$，并且$\frac{π}{3}$＜a＜b＜$\frac{2π}{3}$，则下列各结论中正确的是（　　）

• A． f（a）＜f（$\sqrt{ab}$）＜f（$\frac{a+b}{2}$）
• B． f（$\sqrt{ab}$）＜f（$\frac{a+b}{2}$）＜f（b）
• C． f（$\sqrt{ab}$）＜f（$\frac{a+b}{2}$）＜f（a）
• D． f（b）＜f（$\frac{a+b}{2}$）＜f（$\sqrt{ab}$）

Answer 1

分析 由导数可判断f（x）=$\frac{sinx}{x}$在（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）上是减函数，再由基本不等式可判断出$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，从而由函数的单调性比较函数值的大小即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{sinx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
当x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]时，可判断xcosx-sinx是减函数，
故xcosx-sinx＜$\frac{π}{3}$•$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
当x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$）时，xcosx-sinx＜0；
故f（x）=$\frac{sinx}{x}$在（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）上是减函数，
而由$\frac{π}{3}$＜a＜b＜$\frac{2π}{3}$知a＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜b，
故f（a）＞f（$\sqrt{ab}$）＞f（$\frac{a+b}{2}$），
f（b）＜f（$\frac{a+b}{2}$）＜f（$\sqrt{ab}$）；
故选D．

点评 本题考查了基本不等式及导数的综合应用，属于基础题．