Question

6．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，点A的极坐标是（2，0），点C的直角坐标是（0，3），直线l经过点C，且倾斜角是$\frac{π}{4}$，以点A为圆心的圆经过坐标原点O．
（1）求直线l的参数方程和⊙A的极坐标方程；
（2）若点M∈l，点M∈⊙A，求线段MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用点C的直角坐标是（0，3），直线l经过点C，且倾斜角是$\frac{π}{4}$，可得直线l的参数方程；利用点A的极坐标是（2，0），以点A为圆心的圆经过坐标原点O，可得⊙A的极坐标方程为ρ=4cosθ；
（2）直线l的普通方程为y=x+3，⊙A的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4，求出圆心到直线的距离减去半径，即可求出线段MN的最小值．

解答 解：（1）∵点C的直角坐标是（0，3），直线l经过点C，且倾斜角是$\frac{π}{4}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{4}}\\{y=3+tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$；
∵点A的极坐标是（2，0），以点A为圆心的圆经过坐标原点O，
∴⊙A的极坐标方程为ρ=4cosθ；
（2）直线l的普通方程为y=x+3，⊙A的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4
∵点M∈l，点M∈⊙A，
∴线段MN的最小值为$\frac{|2-0+3|}{\sqrt{2}}$-2=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2．

点评 本题考查直线l的参数方程和⊙A的极坐标方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．