Question

16．已知当x=5时，二次函数f（x）=ax²+bx取得最小值，等差数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），a₂=-7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为T，且b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求T．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，当x=5时，二次函数f（x）=ax²+bx取得最小值，可得$-\frac{b}{2a}$=5，a＞0．由等差数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），a₂=-7．可得S_n=an²+bn，a₁+d=-7，分别取n=1，2，可得a₁=a+b，a₁-7=4a+2b，联立解出即可．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-11}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵当x=5时，二次函数f（x）=ax²+bx取得最小值，∴$-\frac{b}{2a}$=5，a＞0．
∵等差数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），a₂=-7．
∴S_n=an²+bn，a₁+d=-7，
∴分别取n=1，2，可得a₁=a+b，a₁-7=4a+2b，
与a₁+d=-7，b=-10a联立解得：
a=1，b=-10，a₁=-9，d=2．
∴a_n=-9+2（n-1）=2n-11．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-11}{{2}^{n}}$，
∴T=$-\frac{9}{2}$-$\frac{7}{{2}^{2}}$-$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-11}{{2}^{n}}$．
$\frac{1}{2}T$=-$\frac{9}{{2}^{2}}$-$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-13}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-11}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}T$=-$\frac{9}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-11}{{2}^{n+1}}$=$-\frac{11}{2}$+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-11}{{2}^{n+1}}$=$-\frac{7}{2}$-$\frac{2n-7}{{2}^{n+1}}$，
∴T=-7-$\frac{2n-7}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．