Question

15．如图5，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB=$\sqrt{6}$，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）设平面BEF∩平面BCD=l，求证CD∥l；
（3）求四棱锥B-CDFE的体积V．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：CD⊥平面ABC，再利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；
（2）由CD∥EF，利用线面平行的判定定理可得：CD∥平面BEF，再利用线面平行的性质定理即可证明；
（3）解法1：由（1）知EF∥CD，利用三角形相似的性质可得：$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{△ACD}}}}=\frac{1}{4}$，得到$\frac{{{V_{B-AEF}}}}{{{V_{B-ACD}}}}=\frac{1}{4}$，求出V_B-ACD即可得出．
解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，利用线面垂直的性质可得：FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，利用V=V_F-EBC+V_F-BCD即可得出；

解答 （1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，
又BC⊥CD，AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
又E、F分别是AC、AD的中点，
∴EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC
又EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
（2）证明：∵CD∥EF，CD?平面BEF，EF?平面BEF，
∴CD∥平面BEF，
又CD?平面BCD，且平面BEF∩平面BCD=l，
∴CD∥l．
（2）解法1：由（1）知EF∥CD，
∴△AEF～△ACD．
∴$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{△ACD}}}}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{{V_{B-AEF}}}}{{{V_{B-ACD}}}}=\frac{1}{4}$，
∴$V=\frac{3}{4}{V_{B-ACD}}=\frac{3}{4}{V_{A-BCD}}=\frac{1}{4}{S_{△BCD}}•AB$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{6}=\frac{{\sqrt{6}}}{8}$．
解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，
∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，
由（1）知EF⊥平面ABC，
∴V=V_F-EBC+V_F-BCD=$\frac{1}{3}{S_{△EBC}}•EF+\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•FG$=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{{\sqrt{6}}}{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{8}$．

点评 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．