Question

4．已知α、β∈（$\frac{3π}{4}$，π），sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{12}{13}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 由已知及同角三角函数关系式求得cosα，由两角和与差的正弦函数公式可得-$\frac{12}{13}$$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{5}{13}$sinβ-$\frac{3}{5}$，两边平方后整理，结合β的范围，即可解得sinβ的值．

解答 解：∵α、β∈（$\frac{3π}{4}$，π），sinα=$\frac{12}{13}$，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{5}{13}$，cosβ=-$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$
∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{12}{13}$cosβ-$\frac{5}{13}$sinβ=-$\frac{3}{5}$，
∴-$\frac{12}{13}$$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{5}{13}$sinβ-$\frac{3}{5}$，
∴两边平方，整理可得：4225sin²β-1950sinβ-2079=0，
∵β∈（$\frac{3π}{4}$，π），sinβ＞0
∴可解得sinβ=$\frac{819}{845}$．

点评 本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦公式，同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，三角函数部分公式比较多，容易记混，要给予重视，属于基本知识的考查．