Question

19．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求证：直线AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅲ）设M为线段BC₁上任意一点，在△BC₁D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）充分利用正三棱柱的性质得到CC₁⊥底面ABC，得到CC₁⊥BD，只要再证明BD垂直于AC即可；
（Ⅱ）连接B₁C交BC₁于O，连接OD，D为AC 中点，得到AB₁∥OD，利用线面平行的判定定理可得；
（Ⅲ）在△BC₁D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C₁D上；只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明．

解答 （Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各个侧面均是边长为2的正方形，
∴CC₁⊥BC，CC₁⊥AC，∴CC₁⊥底面ABC，
∵BD?底面ABC，∴CC₁⊥BD，
又底面为等边三角形，D为线段AC的中点．
∴BD⊥AC，
又AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）证明：连接B₁C交BC₁于O，连接OD，如图
则O为B₁C的中点，
∵D是AC的中点，∴AB₁∥OD，
又OD?平面BC₁D，OD?平面BC₁D
∴直线AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅲ）在△BC₁D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C₁D上；
证明如下：过C作CE⊥C₁D交线段C₁D与E，
由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC₁A₁，
而CE?平面ACC₁A₁，所以BD⊥CE，
由CE⊥C₁D，BD∩C₁D=D，
所以CE⊥平面BC₁D，
DM?平面BC₁D，
所以CE⊥DM．

点评 本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的运用证明线线垂直，熟练运用定理是关键．