Question

9．已知抛物线C：y²=4x和直线l：y=x+4．
（1）求抛物线C上一点到直线l的最短距离；
（2）设M为l上任意一点，过M作两条不平行于x轴的直线，若这两条直线与抛物线C都只有一个公共点，这两个公共点分别记为A，B，求△MAB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设所求点为（a，b），求出点到直线l的距离，利用配方法，即可得出结论；
（2）设切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程，代入x²=4y，消元，利用△=0，可得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，即可求出三角形的面积．

解答 解：（1）设抛物线上一点N的坐标为（a，b），则b²=4a，
则点N到直线l的距离d=$\frac{|a-b+4|}{\sqrt{2}}=\frac{|\frac{{b}^{2}}{4}-b+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|（\frac{b}{2}-1）^{2}+3|}{\sqrt{2}}$$≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当b=2时，等号成立，
故抛物线C上一点到直线l的最短距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（2）设M（t，t+4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线MA，MB的方程分别为x-t=m₁（y-t-4），x-t=m₂（y-t-4），
∵MA与抛物线有且只有一个公共点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-t={m}_{1}（y-t-4）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$有且只有一组解，
即方程y²-4m₁y+4m₁t+16m₁-4t=0有两个相等的实数根，
∴△=（-4m₁）²-4（4m₁t+16m₁-4t）=0，且y₁=2m₁，
即m₁²-（t+4）m₁+t=0，y₁=2m₁，因此A点坐标为（m₁²，2m₁），
同理m₂²-（t+4）m₂+t=0，y₂=2m₂，因此B点坐标为（m₂²，2m₂），
由m₁²-（t+4）m₁+t=0，m₂²-（t+4）m₂+t=0可知，
m₁，m₂，是方程m²-（t+4）m+t=0的两根，
∴m₁+m₂=t+4，m₁m₂=t，
当t=-4时，直线AB的斜率为k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2{m}_{2}-2{m}_{1}}{{{m}_{2}}^{2}-{{m}_{1}}^{2}}$=$\frac{2}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，
∴直线AB的方程为y-2m₁=$\frac{2}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，（x-m₁²），
化简得2x-（m₁+m₂）y+2m₁m₂=0，
即2x-（t+4）y+2t=0，
当t=-4时，直线AB的方程为x=4，也符合2x-（t+4）y+2t=0，
∴点M到直线AB的距离d=$\frac{|2t-（t+4）^{2}+2t|}{\sqrt{4+（t+4）^{2}}}$=$\frac{{t}^{2}+4t+16}{\sqrt{4+（t+4）^{2}}}$
|AB|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{（{{m}_{1}}^{2}-{{m}_{2}}^{2}）^{2}+（2{m}_{1}-2{m}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{[4+（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}]（{m}_{1}-{m}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{[4+（t+4）^{2}]（{t}^{2}+4t+16）}$，
因此△MAB的面积S_△MAB=$\frac{1}{2}$•$\frac{{t}^{2}+4t+16}{\sqrt{4+（t+4）^{2}}}$•$\sqrt{[4+（t+4）^{2}]（{t}^{2}+4t+16）}$=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{（{t}^{2}+4t+16）^{3}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{[（t+2）^{2}+12]^{3}}$，
故当t=-2时，△MAB的面积有最小值$12\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线的切线，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定切线方程，及直线AB的方程是关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．