Question

13．已知0＜θ＜π，且sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，则$\frac{5sinα+4cosα}{15sinα-7cosα}$=$\frac{8}{81}$．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系，整理求出2sinθcosθ的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinθ-cosθ的值，与已知等式联立求出sinθ与cosθ的值，代入原式计算即可得到结果．

解答 解：∵0＜θ＜π，且sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$①，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，即2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$＜0，
∵sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ-cosθ＞0，
∴（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$，即sinθ-cosθ=$\frac{7}{5}$②，
①+②得：sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，
则原式=$\frac{5×\frac{4}{5}+4×（-\frac{3}{5}）}{15×\frac{4}{5}-7×（-\frac{3}{5}）}$=$\frac{8}{81}$．
故答案为：$\frac{8}{81}$

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．