Question

11．设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a
（1）当a=0，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，由f（x）≥h（x），得x²-mlnx≥x²-x，分离出参数m后构造函数转化为求函数最值，利用导数可求得函数最小值即可得到m的取值范围；
（2）求出k（x）的解析式，由k′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$．可知当x=2时，函数k（x）取得最小值．函数k（x）=f（x）-h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，必需$\left\{\begin{array}{l}{k（1）≥0}\\{k（2）＜0}\\{k（3）≥0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）当a=0时，h（x）=x²-x，则f（x）≥h（x），
即x²-mlnx≥x²-x，化简得mlnx≤x，
∵x＞1，∴lnx＞0，
∴m≤$\frac{x}{lnx}$恒成立，该不等式等价于m≤$\frac{x}{lnx}$的最小值，
令u（x）=$\frac{x}{lnx}$，u′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
由u'（x）＞0，得 x＞e，由u'（x）＜0，得0＜x＜e，
∴u（x）在（e、+∞）上递增，在（0，e）上递减，
∴u（x）_min=u（e）=e，
即有m≤e；
（2）k（x）=x²-2lnx-（x²-x+a）=x-2lnx-a（x∈[1，3]），
k′（x）=1-$\frac{2}{x}$．
当x∈[1，2）时，k′（x）＜0，函数k（x）单调递减；
当x∈（2，3]时，k′（x）＞0，函数k（x）单调递增．
∴当x=2时，函数k（x）取得最小值，k（2）=2-2ln2-a．
∵函数k（x）=f（x）-h（x）在区间[1，3]上恰有两个不同的零点，
即有k（x）在[1，2}和（2，3]内，各有一个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k（1）≥0}\\{k（2）＜0}\\{k（3）≥0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥0}\\{2-2ln2-a＜0}\\{3-2ln3-a≥0}\end{array}\right.$，
解得2-2ln2＜a≤3-2ln3．
∴实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]．

点评 本题考查函数恒成立问题、应用导数求函数的最值问题，考查转化思想，对恒成立问题往往转化为函数最值或分离出参数后求函数最值解决，同时考查零点存在定理的运用，属于中档题．