Question

17．设A、B是平面上的两个定点，O为坐标原点，P为平面上的点，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，则△AOP与△PAB面积之比为2：3．

Answer 1

分析 如图，根据相似比及面积的计算公式可得S_△ABO=18S_△POC，S_△AOP=6S_△POC，S_△BOP=3S_△POC，计算即可．

解答 解：如图，过点P作PD∥OA交BO于点D、PC∥BO交OA于点C．
则根据题意、相似比及三角形面积计算公式，
有S_△ABO=6×3S_△POC=18S_△POC，
S_△AOP=6S_△POC，
S_△BOP=3S_△POD=3S_△POC，
故$\frac{{S}_{△AOP}}{{S}_{△PAB}}=\frac{{S}_{△AOP}}{{S}_{△ABO}-{S}_{△AOP}-{S}_{△BOP}}$
=$\frac{6{S}_{△POC}}{18{S}_{△POC}-6{S}_{△POC}-3{S}_{△POC}}$
=$\frac{2}{3}$
故答案为：2：3．

点评 本题考查向量的平行四边形法则相似比，及同底同高的三角形面积相等，属中档题．